Question

【题目】如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，点D的横坐标为-4．

（1）求直线的函数解析式；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）分别求出tan∠ABC和tan∠BAC的值；

（4）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）tan∠ABC=，tan∠BAC=；（4）在第一象限的抛物线上存在点P（6，），使得△PAB∽△ABC．

【解析】

（1）根据二次函数交点式可以求出，的值，从而确定出A、B的坐标，将B点坐标代入一次函数解析式，求出b的值即可解决.

（2）D点在一次函数的图像上，且知道D点的横坐标，故可以将D点的横坐标代入一次函数解析式，求出D点的坐标，然后将D点的坐标代入二次函数解析式即可求k的值，依次解决.

（3）由图可知，∠ABC和∠BAC分别在Rt△AOC和Rt△BOC中，C为抛物线与y轴的交点，求出C点坐标，分别求两角的正切值即可.

（4）连接PA，过点P作PH垂直轴于H，根据二次函数解析式，设出P点的坐标，分别表示出PH和AH，分两种情况进行讨论，分别是△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC，根据三角形相似的性质，列出比例式分别计算求解，然后进行判断即可.

解：（1）由解得-2，4，

∴A（-2，0），B（4，0），且B点在直线上，

∴，解得，

∴直线BD的函数解析式为．

（2）点D在直线BD上，横坐标为-4，故有

，

∴D（-4，），且点D在抛物线上，故有

，

解得，

∴抛物线的函数解析式为．

化成一般式为：

（3）由（1）知A（-2，0），B（4，0），所以OA=2，OB=4，

C点是抛物线与轴的交点，

将代入（2）中抛物线的解析式求得，

∴C（0，），

∴OC=．

在Rt△AOC，Rt△BOC中，有tan∠ABC=，

tan∠BAC=．

（4）如图，连接PA，过点P作PH垂直轴于H，

设P（，），且，

则PH=，AH=+2，分两种情况：

①若△PAB∽△ABC，

则∠PAB=∠ABC，同时成立．

由tan∠PAB=tan∠ABC得：，

即，

解得．

∴P（6，），AH=8，

∴，

，

由A、B的横坐标求得BA=6，

，，

∴成立．

②若△PAB∽△BAC，

则∠PAB=∠BAC，同时成立．

由tan∠PAB=tan∠BAC得：

，

即，

解得，

∴P（8，），AH=10，

∴，

AC=，

，，

∴．

综上，在第一象限的抛物线上存在点P（6，），使得△PAB∽△ABC．