Question

以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC²=AC•BC，则∠CAB为多少？

Answer 1

分析：根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形，然后过点C作AB的垂线，得到两直角三角形相似，利用相似三角形的性质，对应边的比相等，得到直角三角形中边的关系，可以求出∠COD的度数，然后运用三角形的外角的性质可以求出∠CAB的度数．

解答：解：如图1：
过点C作CD⊥AB于D，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

BC

=

AC

CD

，得：BC•AC=AB•CD，
又OC²=BC•AC，
∴OC²=AB•CD，
∵AB=2OC，
∴OC=2CD，
∴∠COD=30°，
∴∠CAB=15°．
同理，当如图2所示时，
∠CBA=15°，则∠CAB=90°-15°=75°．
故答案为：15°或75°．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据直角三角形斜边上的高分直角三角形所得的两个直角三角形与原来的三角形相似，可以得到两个相似三角形，利用相似三角形的性质计算求出角的度数．