Question

一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路30km的地方有一居民点B，A，B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？

Answer 1

分析：要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．

解答：解：如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x，
由已知条件AB=90，BC=30，BC⊥AC，知
AC=

AB2-BC2

=60

2

．
则CD=AC-AD=60

2

-x，
BD=

CD2+BC2

=

302+(60 2 -x)2

，
设走的行驶时间为y，则
y=

x

60

+

302+(60 2 -x)2

30

．
整理为关于x的一元二次方程得
3x²+（120y-480

2

）x-3600y²+3600×9=0．
因为x必定存在，所以△≥0．即
[120(y-4

2

)]2-4×3×3600（9-y²）≥0．
化简得4y²-8

2

y+5≥0．
解得y≥

2

+

3

2

或y≤

2

-

3

2

（舍去）．
因此，y的最小值为

2

+

3

2

，
此时，
AD=x=60

2

-10

3

．
答：当在公路上行驶60

2

-10

3

km时所用的时间最短，
用的最短时间为

2

+

3

2

．

点评：本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程．