题目内容
【题目】问题提出：
(1)如图①，在正方形
中，
，点
，
分别在
，
上，连接
，若
，
，以为斜边，向下作直角三角形
，则在边
上存在 个符合条件的直角顶点
；
问题探究：
(2)如图②，在(1)的条件下，
是符合题意的一个直角三角形
，求
的面积；
问题解决：
(3)某小区有一个边长为40米的正方形活动区域，小区物业在一面墙的处安装台监控器，该监控器的视角为
，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方．如图③，正方形是过点的一个水平面，
，
与正方形在同一个平面内，连接，若为面积的最值．
【答案】(1)2;(2)
;(3) 
的面积最大值为500，最小值为400.
【解析】
(1) 过F作FH⊥DC与DC相交于H,设BE=x，分别在Rt△GHF、Rt△BEF和Rt△ECG利用勾股定理表示FE2、EG2、FG2,根据BC上存在点E使得
为直角三角形，则需满足
，化简后的式子为一元二次方程，根据方程的解有两个，即可判断这样的点有两个；
（2）根据（1）中可求得BE=1，分别求出EF和EG即可求出的面积；
（3）分G在AD上和G在CD上两种情况讨论.可借助“割补法”表示的面积，根据a的取值范围可分别求得面积的最大值和最小值.
(1)如图过F作FH⊥DC与DC相交于H，
∴∠FHC=∠FHG=90°
∵四边形
为正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4，
∴四边形
为矩形，
∴
,FH=BC=4.
∵
，
∴
在Rt△GHG中根据勾股定理
.
假设BC上存在E，且BE=x，则EC=4-x.
则在Rt△BEF和Rt△ECG中根据勾股定理
，
.
要使△EFG为直角三角形，则根据勾股定理的逆定理
即
化简得
∵
∴该方程有两个不相等的解，即符合条件的E点有两个
故填：2.
（2）解得
∵
∴BE=1，
此时
，即FE=
，
，即
∴的面积=
.
(3)分两种情况讨论：
①如下图，当G点在AD上运动时，连接FG，过G点作GH⊥BC，与BC相交于H.
∴∠GHE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵
，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠GHE=90°，
∴Rt△BEF∽Rt△HGE
∴
,
设BF=a，则EH=2a
∵EH≤EC=20
∴0≤x≤10
此时，当a=10时，取得最大值
.当a=0时，取得最小值
.
②如下图，
时，G在CD上时，连接FG以FG中点O为圆心以OF为半径作圆，
∵∠FEG=90°，
∴E点在⊙O上
设BF=a，CG=b，
∵E为BC中点，FO=OG
∴
，
∴FG=2OF=a+b
当FG//BC时，⊙O的半径最小，即a+b最小此时a+b=FG=BC=40，
；
与①同理可证Rt△BEF∽Rt△CGE
∴
,即
即
，a与b成反比例函数关系，
⊙O与DC相交于I，连接FI，
∴∠FIG=90°
∵∠B=∠C=90°
∴四边形BCIF为矩形，
∴IC=BF=a，GI=GC-IC=b-a
在Rt△FIG中，根据勾股定理
,即
∴当|b-a|最大时a+b的值最大，
∵
∴当a=10，b=40，a+b=50，
或a=40时，b=10，a+b=50，此时
最大，最大为500.
综合①②，的面积最大值为500，最小值为400.
