Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=3cm，BC=5cm，E在AB上且AE=1cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CA运动至A点停止，设运动的时间为ts，当t=

2或

12

5

或

5

3

或9-

3

，△BEP为等腰三角形．

Answer 1

分析：由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=3cm，BC=5cm，E在AB上且AE=1cm，即可求得BC与BE的长，然后分别（1）当P在BC上时，当BP=BE或BE=PE或BP=EP时与（2）当P在CA上时，去分析求解，利用相似三角形的性质与勾股定理，即可求得答案．

解答：解：∵AB=3cm，AE=1cm，
∴BE=AB-AE=2（cm），
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，BC=5cm，
∴AC=

BC2-AB2

=4（cm），
（1）当P在BC上时，
①当BP=BE=2cm时，t=2，△BEP为等腰三角形；
②如图1：当BE=PE时，过点E作EF⊥BC于F，
∴BF=PF，∠BFE=∠A=90°，
∵∠B是公共角，
∴△BEF∽△BCA，
∴BE：BC=BF：AB，
∴2：5=BF：3，
∴BF=

6

5

cm，
∴BP=2BF=

12

5

（cm），
此时t=

12

5

；
③如图2：当BP=EP时，过点P作PF⊥BE于F，
∴BF=EF=

1

2

BE=1（cm），
∵∠PFB=∠A=90°，∠B是公共角，
∴△PBF∽△CBA，
∴BF：BA=BP：BC，
即1：3=BP：5，
∴BP=

5

3

cm，此时t=

5

3

；
（2）如图3：当P在CA上时，
∵∠A=90°，
∴BP＞AB＞BE，BP²=AB²+AP²，PE²=AE²+AP²，
∴BP＞PE，
∴当BE=PE=2cm时，△BEP为等腰三角形，
在Rt△AEP中，AP=

PE2-AE2

=

3

（cm），
∴t=BC+AC-AP=5+4-

3

=9-

3

（cm）．
综上可得：当t=2或

12

5

或

5

3

或9-

3

时，△BEP为等腰三角形．
故答案为：2或

12

5

或

5

3

或9-

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意掌握辅助线的作法，小心别漏解．