Question

已知：如图，正方形ABCD中，点E在AB上，点F在AD上，且AE=

1

4

AB，F是AD的中点，求证：△CEF是直角三角形．

Answer 1

分析：由四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质得到四条边相等，四个角为直角，根据F为AD中点，得到AF与DF相等都等于正方形边长的一半，进而得到DF等于DA的一半，又根据已知的AE等于正方形边长的四分之一，AF为边长的二分之一，等量代换得到AE等于AF的一半，有两对对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似可得三角形AEF与三角形BFC相似，由相似得到对应角相等可得∠AEF=∠BFC，在直角三角形AEF中，两锐角互余，等量代换得到∠BFC+∠AFE=90°，再根据平角的定义可得∠EFC=90°，得证．

解答：证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=90°，
∵F是AD的中点，∴AF=DF=

1

2

AB=

1

2

DC，
又AE=

1

4

AB=

1

4

DC，∴AE=

1

2

AF，
∴

AE

FD

=

AF

DC

，且∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DFC，
∴∠AEF=∠DFC，又∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DFC+∠AFE=90°，即∠EFC=90°，
∴△CEF是直角三角形．

点评：此题考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质，相似三角形的判别方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题利用的是第二种方法．