Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AD上，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）如图1，点E是边AD上任意一点，请直接填写四边形EGFH是什么样的特殊四边形：______．
（2）如图2，当点E在什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明．
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵G，F，H分别是BE，BC，CE的中点，
∴GF∥EC，FH∥BE，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵G，F，H分别是BE，BC，CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）EF⊥BC，EF=BC．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EB=EC，
∵F是BC的中点，
∴EF⊥BC，EF=BC．
分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边可得GF∥EC，FH∥BE，然后根据平行四边形的定义判定；
（2）当点E是AD的中点时，是菱形．根据等腰梯形同一底边上的底角相等可得∠A=∠D，然后利用“边角边”证明证明△ABE和△DCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而得到EG=EH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（3）根据正方形的四条边都相等可得EG=EH，四个角都是直角可得∠BEC=90°，再根据中点定义求出EB=EC，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，是综合题，但难度不大，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形之间的关系是解题的关键．