题目内容
如图，在△ABC中AB的垂直平分线DE与AC相交于点E，与AB相交于点D，∠AED=30°，AG平分∠BAC交DE于点G，AD=4cm，连接BE，下列说法中不正确的是（ ）分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=8cm，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAE=60°，再根据角平分线的定义求出∠EAG=30°，然后求出∠EAG=∠AEG，根据等角对等边可得AG=EG，设DG=x，先表示出DE，再表示出AG=GE，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，故C选项错误；
∵∠AED=30°，AD=4cm，
∴AE=2AD=2×4=8cm，
∴BE=8cm，故B选项错误；
又∵∠DAE=90°-∠AED=90°-30°=60°，AG平分∠BAC，
∴∠EAG=
∠DAE=
×60°=30°，
∴∠EAG=∠AEG，
∴AG=EG，故D选项错误；
设DG=x，
在Rt△ADE中，DE=
=
=4
cm，
∴AG=GE=4
-x，
在Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，
即42+x2=（4
-x）2，
解得x=
，
即DG=
cm，故A选项正确．
故选A．
∴AE=BE，故C选项错误；
∵∠AED=30°，AD=4cm，
∴AE=2AD=2×4=8cm，
∴BE=8cm，故B选项错误；
又∵∠DAE=90°-∠AED=90°-30°=60°，AG平分∠BAC，
∴∠EAG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠EAG=∠AEG，
∴AG=EG，故D选项错误；
设DG=x，
在Rt△ADE中，DE=
| AE2-AD2 |
| 82-42 |
| 3 |
∴AG=GE=4
| 3 |
在Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，
即42+x2=（4
| 3 |
解得x=
4
| ||
| 3 |
即DG=
4
| ||
| 3 |
故选A．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．
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