Question

已知抛物线y=x²+（k+1）x+1与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为

 

．

Answer 1

分析：画出图形，将两点之间的距离转化为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的顶点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出k的值．

解答：解：由题意A、B在原点的右侧，且|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(k+1)2-4

，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB，
∴CD=CB•sin60°=AB•sin60°=

3

2

(k+1)2-4

，
又∵C点纵坐标为

4-(k+1)2

4

，
∴

3

2

(k+1)2-4

=|1-(

k+1

2

)2|，
令（k+1）²=a，
则原式可化为

3

2

a-4

=|1-

a

4

|，
两边平方得，12a-48=a²-8a+16，
整理得，a²-20a+64=0，
解得a=4或a=16．
当a=4时，（k+1）²=4，k+1=±2，k=-3或k=1；
当a=16时，（k+1）²=16，k+1=±4，k=3或k=-5．
由于对称轴位于y轴右侧，所以-2（k+1）＞0，
解得k＜-1，
当k=-3时，有一个交点，
所以k=-5．
故答案为-5．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线顶点坐标公式列出等式是解题的关键．另外，此题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应当有一定程度的了解．