Question

如图，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4，点B在双曲线上．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）若点B的纵坐标为8，试判断△OAB形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A点横坐标x=4代入y=

1

2

x中，得A点纵坐标y=2，可知点A的坐标为（4，2），再将A（4，2）代入y=

k

x

求k即可；
（2）点B在双曲线y=

8

x

上，将y=8代入得x=1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根据两点间距离公式分别求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是直角三角形．

解答：解：（1）将x=4代入y=

1

2

x，得y=2，
∴点A的坐标为（4，2），
将A（4，2）代入y=

k

x

，得k=8，
∴y=

8

x

；

（2）△OAB是直角三角形．
理由：y=8代入y=

8

x

中，得x=1，
∴B点的坐标为（1，8），
又A（4，2），O（0，0），
由两点间距离公式得OA=2

5

，AB=3

5

，OB=

65

，
∵OA²+AB²=20+45=65=OB²，
∴△OAB是直角三角形．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标求法，反比例函数关系式的求法，直角三角形的判定．关键是利用交点坐标将问题过渡．