Question

已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

(1)特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：如图1，分别连接OE、OF 　　∵四边形ABCD是菱形 　　∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO＝DC＝BC 　　∴∠COD＝∠COB＝∠AOD＝90°． 　　∠ADO＝∠ADC＝×60°＝30° 　　又∵E、F分别为DC、CB中点 　　∴OE＝CD，OF＝BC，AO＝AD 　　∴OE＝OF＝OA 　　∴点O即为△AEF的外心． 　　(2)①猜想：外心P一定落在直线DB上． 　　证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J 　　∴∠PIE＝∠PJD＝90°，∵∠ADC＝60° 　　∴∠IPJ＝360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI＝120° 　　∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA＝120°，PE＝PA， 　　∴∠IPJ＝∠EPA，∴∠IPE＝∠JPA 　　∴△PIE≌△PJA，∴PI＝PJ 　　∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上． 　　②为定值2． 　　当AE⊥DC时．△AEF面积最小， 　　此时点E、F分别为DC、CB中点． 　　连接BD、AC交于点P，由(1) 　　可得点P即为△AEF的外心 　　解法一：如图3．设MN交BC于点G 　　设DM＝x，DN＝y(x≠0．y≠0)，则CN＝ 　　∵BC∥DA∴△GBP∽△MDP．∴BG＝DM＝x． 　　∴ 　　∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM 　　∴，∴ 　　∴ 　　∴，即 　　其它解法略．