Question

【题目】如图①，抛物线交正半轴于点，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，与交于点，直线交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上（含端点）间的一点，作轴交抛物线于点，连按，．当的面积为时， 求点的坐标；

（3）如图②，将直线向上平移，交抛物线于点、，交抛物线于点、，试判断的值是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为（4，0）或（5，5）；（3）的值的定值，理由见解析．

【解析】

(1)先将抛物线M1：y=x2-4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；

(2) 分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；

(3) 设将直线OB向上平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造全等三角形△GEM与△HFN，可通过全等三角形的性质求出的值为定值1.

（1）

将其先向右平移个单位，再向上平移3个单位的解析式为：

（2）抛物线与交于点

解得，

将点代入

得，

抛物线与直线交于点

解得，，，

设点的坐标为，则，

即：

解得：，

在中

当时，，，

在中

根据二次函数的图象及性质可知

当时，有最大值，最大值为

（3）的值的定值，理由如下：

设直线向下平移个单位长度得到直线

则

令

解得，，

，

令

解得，，

，

分别过，作轴的平行线,过，作轴的平行线，交点分别为，，，如下图所示：

则，

的值的定值是