Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CF⊥AB于E，C是

AD

的中点，连接BD，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．
（1）求证：P是AQ的中点；
（2）若tan∠ABC=

3

4

，CF=8，求CQ的长．

Answer 1

分析：（1）由题意推出∠AQC=∠PCQ，即可得PC=PQ，由

AC

=

AE

，

AF

= 

CD

，推出∠CAD=∠ACE，即可得PA=PC，即可推出P是AQ的中点；
（2）根据已知首先推出BE的长度，然后即可得BC的长度，在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，求出AC的长度，求证Rt△ACB∽Rt△QCA后，即可得CQ的长度．

解答：（1）证明：∵C是

AD

的中点，
∴

AC

=

CD

，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥AB，
∴

AC

=

AF

∴

AF

=

CD

∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是AQ的中点．

（2）解：∵CE⊥AB于E，
∴在Rt△BCE中，由tan∠ABC=

CE

BE

=

3

4

，
∵CF=8，
∴CE=4，
得：BE=

4

3

CE=

16

3

，
∴由勾股定理，得BC=

CE2+BE2

=

20

3

，
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，BC=

20

3

，
得AC=

3

4

BC=5．
∵AB为直径，∠CBA=∠CAQ，
∴Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC²=CQ•BC
∴CQ=

AC2

BC

=

15

4

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形，关键在于（1）∠CAD=∠ABC，∠CAD=∠ACE，（2）根据正切值求出BE、BC的长度，然后Rt△ACB∽Rt△QCA，求出CQ的长度．