Question

已知二次函数f（x）=x²-2x-n²-n的图象与x轴的交点为（a_n，0），（b_n，0），则式子

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2008

+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b2008

=

 

．

Answer 1

分析：根据题意得到x²-2x-n²-n=0的两根为a_n，b_n，再根据根与系数的关系得到a_n+b_n=2，a_n•b_n=-n²-n=-n（n+1），则a₁+b₁=2，a₁•b₁=-1×2，a₂+b₂=2，a₂•b₂=-2×3，…，然后把原式分别通分得到原式=

a1+b1

a1b1

+…+

a2008+b2008

a2008•b2008

，则原式=

2

-1×2

+

2

-2×3

+…+

2

-2008×2009

=-2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

）=-2×（1-

1

2009

）．

解答：解：∵二次函数f（x）=x²-2x-n²-n的图象与x轴的交点为（a_n，0），（b_n，0），
∴x²-2x-n²-n=0的两根为a_n，b_n，
∴a_n+b_n=2，a_n•b_n=-n²-n=-n（n+1），
∴a₁+b₁=2，a₁•b₁=-1×2，a₂+b₂=2，a₂•b₂=-2×3，
∴原式=

1

a1

+

1

b1

+

1

a2

+

1

b2

+…+

1

a2008

+

1

b2008

=

a1+b1

a1b1

+…+

a2008+b2008

a2008•b2008

=

2

-1×2

+

2

-2×3

+…+

2

-2008×2009

=-2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=-2×（1-

1

2009

）
=-

4016

2009

．
故答案为-

4016

2009

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．