Question

如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积．

Answer 1

分析：连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=

1

2

BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，
∵正△ABC外接圆是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=

1

2

BC，∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
即边心距OD=

1

2

OB=

1

2

R，
由勾股定理得：BD=

OB2-OD2

=

3

2

R，
即三角形边长为BC=2BD=

3

R，AD=AO+OD=R+

1

2

R=

3

2

R，
则△ABC的周长是3BC=3×

3

R=3

3

R；
则△ABC的面积是

1

2

BC×AD=

1

2

×

3

R×

3

2

R=

3 3

4

R²．

点评：本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．