Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝_____°．

Answer 1

【答案】150°

【解析】

连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，于是得到结论．

连结PQ，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝60，AB＝AC，

∵线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，

∴AP＝PQ＝6,∠PAQ＝60，

∴△APQ为等边三角形，

∴PQ＝AP＝6，

∵∠CAP＋∠BAP＝60,∠BAP＋∠BAQ＝60，

∴∠CAP＝∠BAQ，

在△APC和△AQB中，

，

∴△APC≌△AQB，

∴PC＝QB＝10，

在△BPQ中,

∵PB2＝82＝64,PQ2＝62,BQ2＝102，

而64＋36＝100，

∴PB2＋PQ2＝BQ2，

∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ＝90，

∴∠APB＝90＋60＝150.