Question

如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．
（1）求证：DH=（AD+BC）；
（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形．
∴CE=AD，DE=AC．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=DE．
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD．
∴△DBE为等腰直角三角形．
∵DH⊥BC，
∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．

（2）解：∵AD=CE，
∴．
∵△DBE为等腰直角三角形，BD=DE=6，
∴．
∴梯形ABCD的面积为18．
注：此题解题方法并不唯一．
分析：（1）本题要靠辅助线的帮助．过D作DE∥AC交BC延长线于E．由四边形ABCD为等腰梯形推出DE⊥BD，然后证明DH⊥BC即可求解．
（2）此题的重点是求得S_?ABCD与△DBE面积相等．即求出△DBE的面积即可．
点评：本题考查的是等腰梯形，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的有关知识点．