Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=8，BC=12，∠ACB=30°，E为BC边上一点，以BE为边作正三角形BEF，使正三角形BEF和梯形ABCD在BC的同侧．
（l）当正三角形BEF的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正三角形BEF沿BC向右平移，记平移中的正三角形BEF为正三角形B′E′F′，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为x，正三角形B′E′F′的边B′E′和E′F′分别与AC交于点M和点N，连接，DM，DN：
①设正三角形B′E′F′与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，求当DN取得最小值时，求出S的值；
②是否存在这样的x，使三角形DMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 

Answer 1

分析：（1）如图1，作FQ⊥BC于Q，DH⊥BC于H，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质就可以求出BF的值，从而求出BE的值而得出结论；
（2））①如图2，作NG⊥BC于G，根据直角三角形的性质可以求出B′M、MC、E′N的值，再利用三角形的面积公式就可以求出S与x之间的函数关系式，当DN⊥AC时，DN的值最小，在直角三角形中根据勾股定理就可以求出x的值，从而求出此时x的值；
（3）根据图3、图4三种情况当∠DMN=90°、∠DNM=90°或∠MDN=90°时由直角三角形的性质讨论讨论就可以求出x的值，从而得出结论．

解答：解：（1）如图1，作FQ⊥BC于Q，DH⊥BC于H，
∴∠FQC=∠DHC=90°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠6=30°．
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠3=60°．
∵BC=12，
∴AB=4

3

，AC=8

3

，
∴DH=4

3

．
∵CD=8，
∴cos∠7=

3

2

，
∴∠7=30°，
∴∠DCH=60°，
∴∠8=30°，
∴∠8=∠DAC，
∴AD=DC=8．
∵△BEF是等边三角形，
∴∠1=∠4=60°，BF=BE=EF，
∴∠2=∠5=30°，
∴∠AFB=90°．
∴∠5=∠6，
∴EF=EC．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
AF=2

3

，BF=6，
∴BE=6．
（2）①如图2，作NG⊥BC于G，
∴∠NGC=90°．
∵∠F′B′C=60°，∠ACB=30°，
∴∠B′MC=90°．
∵BB′=x，
∴B′C=12-x，CE′=12-6-x=6-x
∴B′M=6-

1

2

x，MC=6

3

-

3

2

x，E′N=6-x，
∴GE′=3-

1

2

x，GN=3

3

-

3

2

x，
∴S=

(6- 1 2 x)(6 3 - 3 2 x)

2

-

(6-x)(3 3 - 3 2 x)

2

，
S=-

3

8

x2+9

3

，（0≤x≤6），
∵DN最小，
∴DN⊥AC，
在Rt△DNC中，由勾股定理，得
DN=4，CN=4

3

，
在Rt△GNC中，由勾股定理，得
GN=2

3

，
在Rt△GNE′中，由勾股定理，得
GE′=2，E′N=4．
∴CE′=4．
∴BB′=12-4-6=2．
∴S=-

3

8

×4+9

3

，
=9

3

-

3

2

=

17

2

3

②如图3，当DN⊥AC于N时，作NG⊥BC于G，
∴∠DNM=∠DNC=∠NGC=90°，
在Rt△DNC中，由勾股定理，得
DN=4，CN=4

3

，
在Rt△NGC中，由勾股定理，得
NG=2

3

，
在RtNGE′中，由勾股定理，得
GE′=2，NE′=4，
∴CE′=4，
∴x=12-6-4=2；
如图4，当DM⊥AC于M时，
∴∠AMC=90°，
在Rt△DMC中由勾股定理，得
DM=3，MC=4

3

．
∵∠F′B′E′=60°，∠ACB=30°，
∴∠B′MC=90°，
在Rt△B′MC中，由勾股定理，得
B′M=4，B′C=8，
∴x=12-8=4；
通过作图为，当∠MDN=90°时，直角三角形DMN不存在．
故x的值为：2或4．

点评：本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质及图形运动的综合运用，解答时抓住等边三角形的性质和直角三角形的性质是重点．