Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并指出二次函数图象的对称轴；
（2）如在这条抛物线上有一点P，且点P的横坐标为-2，在x轴上有一点Q，使△BPQ与△ABC相似，求点Q的坐标？

Answer 1

解：（1）根据题意，得
，
解得．
则这个二次函数的解析式是y=x²-x-2，二次函数图象的对称轴是x=．

（2）∵点P的横坐标为-2，
∴点P的纵坐标为4，即P（-2，4）．
∴∠PBQ=∠ABC=45°．
要使△BPQ与△ABC相似，只需或．
根据已知点的坐标，得BP=4，BC=2，AB=3，
若，则BQ=，即Q（-，0）；
若，则BQ=6，即Q（-4，0）．
分析：（1）运用待定系数法即可求解，根据抛物线与x轴的两个交点，即可直接指出其对称轴；
（2）根据（1）求得的抛物线解析式求得点P的坐标，根据已知点的坐标发现两个等腰直角三角形，即△BOC和△BOD，则∠PBQ=∠ABC．要使△BPQ与△ABC相似，只需夹这个角的两条对应边的比相等即可，应考虑两种情况．
点评：此题综合考查了运用待定系数法求二次函数解析式的方法和相似三角形的判定．注意探究三角形相似的时候，分情况讨论其不同的对应关系．