Question

如图，等边△ABC的边长为6cm，动点P、Q分别从A、B两点出发，沿AB、BC方向匀速运动，它们的速度都是1厘米/秒，当点P到达B点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若三角形PBQ为直角三角形时，则t的值是

1. A.
   2秒
2. B.
   4秒
3. C.
   2秒或4秒
4. D.
   3秒

Answer 1

C
分析：分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．
解答：分两种情况考虑：
（i）当PQ⊥BC时，如图所示：

由题意可得：AP=BQ=t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°==，即=，
解得：t=2秒；
（ii）当QP⊥AB时，如图所示：

由题意可得：AP=BQ=t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°==，即=，
解得：t=4秒，
综上，t的值是2秒或4秒．
故选C
点评：此题考查了等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．