Question

已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x²+mx+n经过点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x﹣3；（2）存在，D点坐标为（2，）

解析试题分析：（1）由直线的解析式y=x﹣3，可先求出与坐标轴的交点坐标C点坐标为（0，﹣3），A点坐标为（4，0），然后把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n中得到关于m、n的方程组，解方程组求出m、n即可得到抛物线的解析式；
（2）过D点作直线AC的平行线y=kx+b，要使△ACD的面积最大，则直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点，点D到AC的距离最大，根据两直线平行问题得到k= ，过点D的直线解析式为y= x+b，然后把它与抛物线解析式组成方程组，利用方程组只有一组解和判别式的意义确定b的值，再得到方程组的解，从而得到D点坐标．
试题解析：（1）把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），
把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0，解得x=4，则A点坐标为（4，0），
把A（4，0），C（0，﹣3）代入y=﹣x²+mx+n得，
解得，
所以二次函数解析式为y=﹣x²+x﹣3；
（2）存在．
过D点作直线AC的平行线y=kx+b，当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，
∵直线AC的解析式为y=x﹣3，
∴k=，即y=x+b，
由直线y=x+b和抛物线y=﹣x²+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x²﹣12x+4b+12=0，
∴△=12²﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，
∴3x²﹣12x+12=0，解得x₁=x₂=2，
把x=2，b=0代入y=x+b得y=，
∴D点坐标为（2，）．
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征．