Question

已知关于x的方程k x²+（k+2）x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若|x₁+x₂|=x₁•x₂+

1

4

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到k≠0且△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，再分类讨论：当x₁+x₂=x₁•x₂+

1

4

；当-（x₁+x₂）=x₁•x₂+

1

4

，然后得到关于k的方，解方程，再利用（1）的条件确定k的值．

解答：解：（1）根据题意得k≠0且△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，
解得k＞-1且k≠0；
（2）根据题意得x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
当x₁+x₂=x₁•x₂+

1

4

，则-

k+2

k

=

1

4

+

1

4

，解得k=-

4

3

；
当-（x₁+x₂）=x₁•x₂+

1

4

，则

k+2

k

=

1

4

+

1

4

，解得k=-4，
∵k＞-1且k≠0；
∴k的值不存在．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．