Question

【题目】如图，四边形在平面直角坐标系的第一象限内，其四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线于点，轴于点．

（1）若，试求的值；

（2）当，点是线段的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由．

（3）直线与轴相交于点．当四边形为正方形时，请求出的长度．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（2）四边形ABCD为菱形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由点N的坐标及CN的长度可得出点C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点n的值；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A，C的坐标，结合点P为线段AC的中点可得出点P的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B，D的坐标，结合点P的坐标可得出BP=DP，利用“对角线互相垂直平分的四边形为菱形”可证出四边形ABCD为菱形；

（3）利用正方形的性质可得出AC=BD且点P为线段AC及BD的中点，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A，C，B，D的坐标，结合AC=BD可得出关于n的方程，解之即可得出结论．

（1）∵点N的坐标为（2，0），CN⊥x轴，且，

∴点C的坐标为（2，）．

∵点C在反比例函数的图象上，

∴n=2×=1．

（2）四边形ABCD为菱形，理由如下：

当n=2时，．

当x=2时，，

∴点C的坐标为（2，1），点A的坐标为（2，4）．

∵点P是线段AC的中点，

∴点P的坐标为（2，）．

当y=时，，

解得：，

∴点B的坐标为，点D的坐标为，

∴，

∴BP=DP．

又∵AP=CP，AC⊥BD，

∴四边形ABCD为菱形．

（3）∵四边形ABCD为正方形，

∴AC=BD，且点P为线段AC及BD的中点．

当x=2时，y1=n，y2=2n，

∴点A的坐标为（2，2n），点C的坐标为（2，n），AC=n，

∴点P的坐标为．

同理，点B的坐标为，点D的坐标为，．

∵AC=BD，

∴，

∴，

∴点A的坐标为，点B的坐标为．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A，B代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=x+．

当x=0时，y=x+，

∴点E的坐标为（0，），

∴当四边形ABCD为正方形时，OE的长度为．