Question

如图1，四边形ABCD中，AD⊥AB，AB∥CD，AB=15，AD=12，DC=10，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动；同时动点Q从点出发，以每秒2个单位的速度向终点B运动．连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形CPQB为平行四边形？
（2）如图2所示，若M点是射线AB上的一个动点，且自B点出发，以每秒2个单位的速度向终点向右运动，若M与P、Q同时出发，连接PM，当t为何值时，△PQM为等腰三角形？（请直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）首先根据题意，可用t表示出BQ与CP的长，即可得当BQ=CP时，四边形CPQB为平行四边形，即15-2t=t，解此方程即可求得答案；
（2）首先过P作PE⊥QM于E，即可用t表示出QE与EM的长，然后分别从当PQ=PM时，当PQ=QM时，当PM=QM时，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）根据题意得：CP=t，AQ=2t，
∴BQ=AB-AQ=15-2t，
∵AB∥CD，
∴当BQ=CP时，四边形CPQB为平行四边形，
即15-2t=t，
解得：t=5，
∴当t=5秒时，四边形CPQB是平行四边形；

（2）过P作PE⊥QM于E，
则四边形AEPD是矩形，
∴AE=PE=CD-PC=10-t，
∴QE=AE-AQ=10-3t，
∴EM=15-（10-3t）=3t+5．
①当PQ=PM时，3t+5=10-3t，
解得：t=

5

6

；
②当PQ=QM时，（10-3t）²+12²=15²，
即（10-3t）²=9²，
∴10-3t=±9，
解得：t=

1

3

或t=

19

3

；
③当PM=QM时，（3t+5）²+12²=15²，
∴（3t+5）²=9²，
∴3t+5=±9，
解得：t=

4

3

或t=-

14

3

（舍）；
综上所述：当t=

1

3

，

5

6

，

4

3

，

19

3

时，△PQM为等腰三角形．

点评：此题属于四边形的综合题．此题难度较大，涉及了平行四边形的判定与性质、直角梯形的性质以及等腰三角形的性质，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．