Question

如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=3，BC=6．现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A旋转后的位置为点E，点D旋转后的位置为点F．以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．

（1）求直线AE的解析式；
（2）将Rt△EFC沿x轴的负半轴平行移动，如图③．设OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC与Rt△ABO的重叠部分面积为s；求当x=1与x=8时，s的值；
（3）在（2）的条件下s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据旋转的性质，求出A（-6，3），E（3，6）的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；
②当x=8时，如图2，重叠部分为梯形FQAB，根据梯形的面积公式解答．
（3）①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤3与7.5＜x≤9时，不会出现s的最大值．
②当3＜x≤6时，由图3可知：当x=6时，s最大．
③当6＜x≤7.5时，如图4，表示出各三角形的面积，，，，再将s表示为S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG，转化为关于x的二次函数，根据二次函数的最值问题解答．
解答：解：（1）AB=3，BC=6，根据旋转的性质可知：A（-6，3），E（3，6），
设函数解析式为y=kx+b，
把A（-6，3），E（3，6）分别代入解析式得，
，
解得，，
直线AE解析式为：．
（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，

可得：Rt△POC∽Rt△BOA，
∴，
即：，
解得：S=．
②当x=8时，如图2，重叠部分为梯形FQAB，
可得：OF=5，BF=1，FQ=2.5，
∴S=．
（3）解法一：

①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤3与7.5＜x≤9时，不会出现s的最大值．
②当3＜x≤6时，由图3可知：当x=6时，s最大．
此时，，，
∴S=．
③当6＜x≤7.5时，如图4，，，．
∴S=S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG=，
∴S=，
∴当时，S有最大值，，
综合得：当时，存在S的最大值，．
解法二：
同解法一③可得：
若0＜x≤3，则当x=3时，S最大，最大值为；
若3＜x≤6，则当x=6时，S最大，最大值为；
若6＜x＜7.5，则当时，S最大，最大值为；
若7.5≤x≤9，则当x=7.5时，S最大，最大值为；
综合得：当时，存在S的最大值，．
点评：本题考查了一次函数的综合问题，涉及动点问题及二次函数的最值、三角形的面积及梯形面积的计算，综合性较强，要认真解答．