Question

如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S_△EBC=1，其中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：连接DC，证△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再证△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°；其它两个条件运用假设成立推出答案即可．

解答：证明：连接DC，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60，
∵DB=DA，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD  （SSS），
∴∠BCD=∠ACD=

1

2

∠ACB=30°，
∵BP=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
∴△BED≌△BCD  （SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°．
由此得出①③正确．
对于②如果成立，则BE与BD重合，所以与题目∠BED=30°矛盾；
对于④若EC∥AD，则△EBC是直角三角形，∠ECB是直角，AB=2，则EC=1，得出∠EBC等于30°，同②成立出现同样的矛盾，则S_△EBC=1，也是不存在的．
故正确的选项有两个．
故选：B．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．