Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB上一点，CE平分∠DCB，且有AD=AE，CD=CE．
（1）求证：CE=2BE．
（2）若AD=2，DF⊥AD交EC于点F，求DF．

Answer 1

（1）证明：设∠BCE=∠DCE=x，
则∠AEC=90°+x，
在四边形ADCE中，内角和为360°，
∴90°+2×（90°+x）+x=360°，
解得：x=30°，
在直角三角形BCE中，∠BCE=30°，
故有BE=CE，即CE=2BE．

（2）解：延长DF与BC交于点H，
如图所示：
设BE的长为x，
由题意知：BC=x，BH=2，CD=CE=2x，
∴HC=BC-BH=x-2，
在直角三角形DCH中，有HC=CD，
∴（-2）=x，
解得：x=，
在直角三角形CFH中，FH==1+，
故DF=DH-FH=AB-FH=AE+BE-FH=2+．
分析：（1）利用四边形的内角和定理，设出∠BCE的大小，可求出其大小，继而证明；
（2）∠BCD=60°，利用含30度角的直角三角形的性质，可求出BE的长，继而求出NC，FH的长，从而求出DF的长．
点评：本题考查了直角梯形，含30度角的直角三角形及解直角三角形的知识，有一定难度，注意含30度角直角三角形性质的灵活运用．