Question

如图，P是正方形ABCD内一点，PA=a，PB=2a，PC=3a．将△APB绕点B按顺时针方向旋转，使AB与BC重合，连接PP′，得到△PBP′．
（1）求证：△PBP′是等腰直角三角形；
（2）猜想△PCP′的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵△APB绕点B按顺时针方向旋转得到△PBP′，∴旋转角为90°，且BP与BP'是对应边，可证△PBP′是等腰直角三角形；
（2）由（1）可知PB=PB'=2a，用勾股定理得PP′的长，又P′C=PA=a，PC=3a，在△PP′C中运用勾股定理判断三角形的形状．

解答：解：（1）证明：由图形旋转可知：△BAP≌△BCP′，
∴BP=BP′=2a，AP=CP′=a，∠ABP=∠CBP′．
由四边形ABCD是正方形，得∠ABC=90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△PBP′是等腰直角三角形．

（2）由（1）知△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

(2a)2+(2a)2

=2

2

a，
在△CPP′中，PP′=2

2

a，PC=3a，CP′=a，
且a²+（2

2

a）²=9a²=（3a）²，
∴△PCP′是直角三角形．

点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．