Question

如图，已知直线y=

3

4

x-3交x轴、y轴于点A、B，⊙P的半径为1，圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），则t=

11

4

或

21

4

s时⊙P与直线AB只有一个公共点．

Answer 1

分析：P可能在OA上，也可能在OA的延长线上，因而分两种情况进行讨论，作PE⊥AB于点E．则△APE∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到一个关于t的方程，求得t的值．

解答：解：在y=

3

4

x-3中，令x=0，则y=-3，即B的坐标是（0，-3），则OB=3；
令y=0，在

3

4

x-3=0，解得：x=4，则A的坐标是（4，0），则OA=4．
在直角△OAB中，AB=

OA2+OB2

=5．
当P在线段OA上时，如图（1）：
作PE⊥AB于点E．则△APE∽△ABO，
则

AP

AB

=

PE

OB

，即

4-t

5

=

1

4

，解得：t=

11

4

s；
当P在OA的延长线上时：如图（2），
同理作PE⊥AB于点E．则△APE∽△ABO，
则

AP

AB

=

PE

OB

，
则

t-4

5

=

1

4

，
解得：t=

21

4

s．
故答案是：

11

4

或

21

4

．

点评：本题考查了一次函数与相似三角形，以及切线的性质的综合应用，正确进行讨论是关键．