Question

（2011•龙文区质检）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求证：CA=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积S．

Answer 1

分析：（1）连接OC，利用切线的性质和圆的半径相等即可证明CA=CD；
（2）过O作OE⊥AC于E，由图可知，图中阴影部分的面积S=S_△AOC+S_扇形COB，分别求出三角形的面积和扇形的面积即可．

解答：（1）证明：连接OC，
∵过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠A=∠D，
∴CA=CD；

（2）解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠A=30°，A0=2，
∴OE=1，
∴AE=CE=

3

，
∴AC=2

3

∴S_△AOC=

1

2

×AC×OE=

3

，
∵∠COB=60°，OC=2，
∴S_扇形COB=

1

6

•π×4=

2

3

π，
∴图中阴影部分的面积S=S_△AOC+S_扇形COB=

3

+

2

3

π．

点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形的面积公式和扇形的面积公式，解题的关键是连接圆心和切点构造垂直．