Question

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
（1）如图①，求证：

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

；
（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质可知，DE=DF，再由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据BD=CD，可知S_△ABD=S_△ACD，根据（1）的结论即可得到

AB

AC

=1，即AB=AC；
（3）过A作AE⊥BC，垂足为E，由三角形的面积公式可得出

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

，再由（1）的结论即可求出BD的长．

解答：
解：（1）如图①，证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴

S△ABD

S△ACD

=

1 2 AB•DE

1 2 AC•DF

=

AB

AC

；

（2）∵BD=CD，∴S_△ABD=S_△ACD
由（1）的结论

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

，
∴

AB

AC

=1，
∴AB=AC；

（3）如图③，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵S△ABD=

1

2

BD•AE，S△ACD=

1

2

DC•AE，
∴

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

由（1）的结论

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

，
∴

BD

DC

=

AB

AC

=

5

4

，
∴BD=

10

3

，DC=

8

3

．

点评：本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．