题目内容

等腰梯形OABC的下底OC在x轴的负半轴上，底角∠AOC=60°（如图），若A点的纵坐标为2 $数学公式$ ，AB=4．
(1)求梯形OABC的面积；
(2)若一个反比例函数图象过对角线OB与AC的交点，求此反比例函数解析式．

解：（1）过A作AE⊥OC于E，过B作BD⊥OC于D，如图，
∴AB=DE=4，
∵A点的纵坐标为2 $\text{[math]}$ ，即AE=2 $\text{[math]}$ ，
而∠AOC=60°，
∴OE= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =2，
∵四边形ABCO为等腰梯形，
∴DC=OE=2，
∴OC=2+2+4=8，
∴梯形OABC的面积= $\text{[math]}$ （4+8）×2 $\text{[math]}$ =12 $\text{[math]}$ ；

（2）连AC、OB交于F点，如图，
∵OD=2+4=6，
∴A点坐标为（-2，2 $\text{[math]}$ ），B点坐标为（-6，2 $\text{[math]}$ ），C点坐标为（-8，0），
设直线OB的解析式为y=kx，
把B（-6，2 $\text{[math]}$ ）代入得k=- $\text{[math]}$ ，即直线OB的解析式为y=- $\text{[math]}$ x①；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，2 $\text{[math]}$ ）和C（-8，0）代入得k= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，即直线AC的解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ②；
解由①②组成的方程组得x=-4，y= $\text{[math]}$ ，
∴F点坐标为（-4， $\text{[math]}$ ），
设过F点的反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，
把F（-4， $\text{[math]}$ ）代入得k=- $\text{[math]}$ ，
∴所求反比例函数解析式为y=- $\text{[math]}$ x．
分析：（1）过A作AE⊥OC于E，过B作BD⊥OC于D，则AB=DE=4，AE=2 $\text{[math]}$ ，在Rt△OAE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OE，利用等腰梯形的性质得到CD，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）连AC、OB交于F点，易确定A点坐标为（-2，2 $\text{[math]}$ ），B点坐标为（-6，2 $\text{[math]}$ ），C点坐标为（-8，0），然后利用待定系数法确定直线OB和AC的解析式，在通过建立方程组求出它们交点的坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数的解析式．
点评：本题考查了利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式．也考查了建立解方程组确定两直线的交点坐标、等腰梯形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．