Question

等腰梯形OABC的下底OC在x轴的负半轴上，底角∠AOC=60°（如图），若A点的纵坐标为2

3

，AB=4．
①求梯形OABC的面积；
②若一个反比例函数图象过对角线OB与AC的交点，求此反比例函数解析式．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥OC于E，过B作BD⊥OC于D，则AB=DE=4，AE=2

3

，在Rt△OAE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OE，利用等腰梯形的性质得到CD，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）连AC、OB交于F点，易确定A点坐标为（-2，2

3

），B点坐标为（-6，2

3

），C点坐标为（-8，0），然后利用待定系数法确定直线OB和AC的解析式，在通过建立方程组求出它们交点的坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数的解析式．

解答：解：（1）过A作AE⊥OC于E，过B作BD⊥OC于D，如图，
∴AB=DE=4，
∵A点的纵坐标为2

3

，即AE=2

3

，
而∠AOC=60°，
∴OE=

3

3

AE=

3

3

×2

3

=2，
∵四边形ABCO为等腰梯形，
∴DC=OE=2，
∴OC=2+2+4=8，
∴梯形OABC的面积=

1

2

（4+8）×2

3

=12

3

；

（2）连AC、OB交于F点，如图，
∵OD=2+4=6，
∴A点坐标为（-2，2

3

），B点坐标为（-6，2

3

），C点坐标为（-8，0），
设直线OB的解析式为y=kx，
把B（-6，2

3

）代入得k=-

3

3

，即直线OB的解析式为y=-

3

3

x①；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，2

3

）和C（-8，0）代入得k=

3

3

，b=

8 3

3

，即直线AC的解析式为y=

3

3

x+

8 3

3

②；
解由①②组成的方程组得x=-4，y=

4 3

3

，
∴F点坐标为（-4，

4 3

3

），
设过F点的反比例函数解析式为y=

k

x

，
把F（-4，

4 3

3

）代入得k=-

16 3

3

，
∴所求反比例函数解析式为y=-

16 3

3

x．

点评：本题考查了利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式．也考查了建立解方程组确定两直线的交点坐标、等腰梯形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．