Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的性质的得出，∠1=∠2，进而得出，∠3=∠2，即可得出OE与OF的大小关系；
（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=

1

2

×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四边形AECF是矩形．

（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF会是正方形，
理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四边形AECF是正方形．

点评：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键．