Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x²+2x+c过点A（-1，0）；直线l：y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点M；抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）过点A作AP⊥l于点P，P为垂足，求点P的坐标．
（3）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E．问：是否存在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可得出c的值，从而得出了函数解析式，化为顶点式可直接得出点D的坐标；
（2）先求出OB、BC，然后根据△ABP∽△OBC，求出PB，再由P_y=PBsin∠CBO，可得出点P的纵坐标，代入函数解析式可得出横坐标；
（3）根据题意可得要使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形，只需NE=DM即可，从而得出方程，求解即可得出点N的坐标．
解答：解：（1）将点（-1，0）代入y=-x²+2x+c，
得0=-1-2+c，
解得：c=3．
故可得抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
将抛物线的解析式化为顶点式为y=-（x-1）²+4，
故顶点D的坐标为（1，4）；

（2）由（1）y=-x²+2x+3，可得点B坐标为（4，0），
设点P的坐标为（x，y），
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5．
又∵△ABP∽△CBO，
∴=，
故PB=×AB=×5=4，
又∵P_y=PBsin∠CBO，
∴P_y=4×=，
代入y=-x+3可得：=-x+3，
解得 x=．
所以点P坐标为（，）；

（3）将x=1代入y=-x+3，得y=，故点M的坐标为（1，），
即可得DM=D_纵坐标-M_纵坐标=4-=，
要使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形，只需NE=DM即可，
即只要NE=即可，
设点N坐标为（x，-x+3），点E坐标为（x，-x²+2x+3），
①由NE=E_纵坐标-N_纵坐标=（-x²+2x+3）-（-x+3）=，得4x²-11x+7=0，
解之得x=或x=1（此时点N和D、M共线，不合题意，舍去），
②由NE=N_纵坐标-E_纵坐标=（-x+3）-（-x²+2x+3）=，得4x²-11x-7=0，
解得：x=，
综上所述，满足题意的点N的横坐标为x₁=，x₂=，x₃=．
点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及解方程的知识，解答此类大综合题关键是能够将所学的知识融会贯通．