Question

【题目】如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=ODOP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°．

∵BP=CQ，

∴AP=BQ．

在△DAP与△ABQ中，∵，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q．

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2=ODOP．故②正确；

在△CQF与△BPE中，∵，

∴△CQF≌△BPE，

∴S△CQF=S△BPE．

∵△DAP≌△ABQ，

∴S△DAP=S△ABQ，

∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4．

∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，

∴△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE，

∴QE，

∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，

∴△QOE∽△POA，

∴，

∴，故④正确．

故选：D．