题目内容

如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB= $数学公式$ ，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，
（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；
（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的 $数学公式$ ？
（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．

解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
∵AB=10，sinB= $\text{[math]}$ ，
∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ t，AN= $\text{[math]}$ t，MN=6- $\text{[math]}$ t．

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
DE=DG=MN，即 $\text{[math]}$ t=6- $\text{[math]}$ t，
∴t= $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，正方形DEFG的边GF在BC上；

（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，

S_△CEP+S_△BDQ= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
S_△ABC= $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ （12- $\text{[math]}$ t）（6- $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ ×36，
解得t₁=15（舍去），t₂=5，
∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的 $\text{[math]}$ ；

（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，

S=DE²=（ $\text{[math]}$ t）²= $\text{[math]}$ t²，此时t的范围是0≤t≤ $\text{[math]}$ ，
当t= $\text{[math]}$ 时，S的最大值为16．
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图2，S=DE•MN= $\text{[math]}$ t（6- $\text{[math]}$ t）=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t，此时t的范围是 $\text{[math]}$ ＜t≤10，
∵- $\text{[math]}$ ＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，
∵18＞16，∴S的最大值为18．
分析：（1）根据题意作辅助线，然后根据相似三角形比例关系即可得出t的值；
（2）根据题意将三角形面积用t表示出来，然后解方程即可；
（3）分两种情况讨论得出答案．
点评：本题主要考查了作辅助线、相似三角形的证明及性质、二次函数最值及正方形的性质，难度较大．