Question

在△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由

 

Answer 1

 

（1）

（2）理由略

解析:解：（1）∵点O是AB的中点，∴．  

设点B的横坐标是x(x>0)，则，           

解得　，(舍去)．

∴点B的横坐标是．…………………………………2分

（2）当，，时，得

　　

．(＊)  

∵抛物线对称轴经过点C，∴ C的横坐标为，                        

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，

．          

由此，可求得点C的坐标为(，)， 

点A的坐标为(，)，

∵　A，B两点关于原点对称，

∴　点B的坐标为(，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……………………………………4分

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．………………6分

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．            　              　…7分

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)