Question

观察下列各式及其变形过程：
2 

2 3

=

23 3

=

2( 22-1)+2  22-1

=

2+  2 3

（1）按上述等式及其验证过程的基本思路，猜想3

3 8

的变形结果并进行证明；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，n≥2）表示的算式，并证明；
（3）依上面规律，写出用n表示下列各式的规律：2

2 5

=

2- 2 5

，3

3 10

=

3- 3 10

，…（不要求证明）．

Answer 1

（1）从题目的变形可以得出3

3 8

=

33 8

=

3( 32-1)+3  32-1

=

3+  3 8

．
证明：

3+  3 8

=

3×8+3 8

=

27 8

=

32×3  8

=3

3 8

．所以变形正确．

（2）从上面两个变形可以看出3=2²-1，8=3²-1，
所以当为n时，分母为n²-1；
故当n≥2时，可以表示为n 

n n2-1

=

n+  n n2-1

；
证明：n 

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n( n2-1)+n  n2-1

=

n+  n n2-1

．

（3）有5=2²+1，10=3²+1；故当为n时有
n

n n2+1

=

n-  n n2+1