Question

已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN．

Answer 1

解：∵∠1=∠2=22.5°，又CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45+22.5=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
∴AP=4，
∴S_△APC=AP•CD=4×4=8；

（2）∵在△PDC和△FBC中，

∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，连接BH
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，
，
∴△AMB≌BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．
分析：（1）根据等角对等边易证AP=AC，根据勾股定理求得AC的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（2）易证△PDC≌△FBC则CP=CF，在CN上截取NH=FN，连接BH，则可以证明△AMB≌BHC，得到CH=BM，即可证得．
点评：本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，正确作出辅助线是关键．