题目内容

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0， $数学公式$ ）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；
（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，
①当∠DNT=90°时，直接写出 $数学公式$ 的值；
②当直线TN绕点M旋转时，
试说明：△DNT的面积S_△DNT= $数学公式$ DN•DT；
并猜想： $数学公式$ 的值是否是定值？说明理由．

解：∵抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-4），
∵此抛物线与y轴交于点C（0， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =a（0+2）（0-4），
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ （x+2）（x-4），
即y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-1）²+3 $\text{[math]}$ ，
故顶点D的坐标为：（1，3 $\text{[math]}$ ）；

（2）设直线CD的解析式为：y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线CD的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
则点E的坐标为：（-8，0），点F的坐标为：（4，4 $\text{[math]}$ ），
则OE=8，BF=4 $\text{[math]}$ ．
∵C（0， $\text{[math]}$ ），B（4，0），

∴OC= $\text{[math]}$ ，OB=4，
∴EB=12，
∴由勾股定理得：
EF=8 $\text{[math]}$ ，CE= $\text{[math]}$ ．
∴CF= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
如图1，过点F作FG⊥y轴于点G，则△COE∽△CGF，此时点G的坐标为：（0，4 $\text{[math]}$ ）；
如图2，过点F作GF⊥CD，交y轴于点G，则△COE∽△CFG，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CG= $\text{[math]}$ ．
∴OG=8 $\text{[math]}$ ，
∴点G的坐标为：（0，8 $\text{[math]}$ ）；
若CG⊥FG，则△COE∽△CGF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
设G（x，y），由两点间的距离公式为：
CG²=x²+（y- $\text{[math]}$ ）²=x²+y²+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ y，
GF²=（x-4）²+（y-4 $\text{[math]}$ ）²=x²+16-8x+y²+48-8 $\text{[math]}$ y，
CF²= $\text{[math]}$ ，OE²=64，CE²= $\text{[math]}$ ，OC²= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
变形为： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）．
∴G（0，4 $\text{[math]}$ ）．
综上所述G点的坐标是：（0，4 $\text{[math]}$ ）、（0，8 $\text{[math]}$ ）．

（3）①∵抛物线是轴对称图形，DM是对称轴，
∴DA=DB，
∵tan∠DAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=60°．
∵∠DNT=90°，
∴∠DTN=∠MDN=30°，
∴DN=4.5，DT=9，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
② $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
理由：作NH⊥DT于H，
∵S_△DNT= $\text{[math]}$ DT．NH
∴S_△DNT═ $\text{[math]}$ DT．DN．sin60°
∴S_△DNT= $\text{[math]}$ DT．DN．
∵S_△DNT=S_△DMT+S_△DMN，
∴ $\text{[math]}$ DT．DN= $\text{[math]}$ ×DT• $\text{[math]}$ DM+ $\text{[math]}$ DN• $\text{[math]}$ DM，
∴ $\text{[math]}$ DT．DN= $\text{[math]}$ ×DT• $\text{[math]}$ ×3 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ DN• $\text{[math]}$ ×3 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ DT．DN= $\text{[math]}$ （DT+DN），
∴DT．DN=3（DT+DN），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据点的坐标直接运用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后再化成顶点式就可以求出顶点坐标；
（2）分情况讨论根据相似三角形的性质就可以求出点G的坐标；
（3）①运用直角三角形的性质和勾股定理的运用求出DN、DT的值就可以求出结论；
②作NH⊥DT于H，可以表示出S_△DNT= $\text{[math]}$ DT．NH就可以得出S_△DNT═ $\text{[math]}$ DT．DN．sin60°，从而得出S_△DNT= $\text{[math]}$ DT．DN．再由S_△DNT=S_△DMT+S_△DMN，就有 $\text{[math]}$ DT．DN= $\text{[math]}$ ×DT• $\text{[math]}$ DM+ $\text{[math]}$ DN• $\text{[math]}$ DM，可以得出DT．DN=3（DT+DN），进而得出结论．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的三角函数值的运用，三角形的面积公式的运用，抛物线的性质的运用，解答时合理利用三角形的面积公式是关键．