Question

如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，BC=16cm，点D是AB边的中点．点P是BC边上的动点，以3cm/秒的速度从点B向点C运动；点Q是AC边上的动点，同时从点C向点A运动．设运动时间为t cm/秒．
（1）如果点Q运动的速度与点P运动的速度相等．求证当运动时间t=2秒时，△DBP≌△PCQ．
（2）如果点Q运动的速度与点P运动的速度不相等，是否存在某一时刻t₀，使△DBP与△PCQ全等？若存在，求出t₀的值，并求此时点Q运动的速度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先表示出BP，根据PC=BC-BP，可得出答案；
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．

解答：（1）证明：当t=2秒时，CQ=BP=6cm，
∵AB=AC=20cm，BC=16cm，点D是AB边的中点，
∴∠B=∠C，BD=10cm，CP=16cm-6cm=10cm=BD，
在△DBP和△PCQ中

BD=CP ∠B=∠C BP=CQ

∴△DBP≌△PCQ（SAS）．

（2）存在某一时刻t₀，使△DBP与△PCQ全等，
理由是：BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=8cm，CQ=BD=10cm，
∴点P，点Q运动的时间t=

BP

6

=

8

6

秒，
∴V_Q=

CQ

t

10

8 6

═7.5厘米/秒．

点评：此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．