题目内容

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，tan∠CAB= $数学公式$ ，求四边形ACEB的周长．

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，
∴tan∠CAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴BC=4 $\text{[math]}$ ，
∴AB= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD= $\text{[math]}$ BC=2 $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ =4，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，DE=AC=2，
∴BE= $\text{[math]}$ =4．
∴四边形ACEB的周长为：AC+CE+BE+AB=2+4+4+2 $\text{[math]}$ =10+2 $\text{[math]}$ ．
分析：由在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，tan∠CAB= $\text{[math]}$ ，即可求得BC的长，由勾股定理即可求得AB的长，又由D是BC的中点，即可求得CD与BD的长，易得四边形ACED是平行四边形，则可求得DE的长，继而利用勾股定理，即可求得BE的长，继而求得四边形ACEB的周长．
点评：此题考查了勾股定理、三角函数以及平行四边形的性质与判定．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意直角三角形的性质的应用．