Question

【题目】如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（如图）

问题．试在图的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由．

类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面将一个体积为的图形分成体积为V1

、的两个图形，且，则称直线为该图形的黄金分割面．

问题：如图，长方体中，是线段上的黄金分割点，证明经过点且平行于平面的截面是长方体的黄金分割面．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线．
（2）根据AT：AB=TB：AT，进而推出S矩形QRST=S矩形BCGF因为AT×S矩形QRST：AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE：AT×S矩形QRST从而不难求得截面QRST是长方体的黄金分割面．

解：如图，先在梯形的中位线上找一个黄金分割点，过点作一条直线交于点，交于，则就是梯形的黄金分割线．

∵，

∴，

∵，，（是梯形的高），

∴，

∵直线是过的任意一条与，都相交的直线，

∴符合题意的黄金分割线有无穷多条．

∵，

∴，

∵，

即截面将体积为的长方体，分成左右两块体积分别是，，

∴，

∴截面是长方体的黄金分割面．