Question

已知：平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，半径为1，⊙A沿x轴上向右平移．
（1）如图1，当⊙A与y轴相切时，点A的坐标为

 

；
（2）如图2，设⊙A以每秒1个单位的速度从原点左侧沿x轴向右平移，直线l：y=

3

4

x-3与x轴交于点B，交y轴于点C，问：在运动过程中⊙A与直线l有公共点的时间共几秒？

Answer 1

分析：（1）直接可以写出当⊙A与y轴相切时，点A的坐标，
（2）在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，由勾股定理得BC=5，设⊙A经过x秒后与直线l相切，过A点作BC的垂线，垂足为Q，AQ=1；①当⊙A在直线BC的左边与直线l相切时，AB=4-x，根据△BAQ∽△BCO的成比例线段求解；
②当⊙A直线l的右边与直线BC切时，AB=4-x，根据△BAQ∽△BCO的成比例线段求解．

解答：解：（1）已知圆的半径为1，
故当⊙A与y轴左侧相切时，点A的坐标为（-1，0），
故当⊙A与右轴左侧相切时，点A的坐标为（1，0），
即当⊙A与y轴相切时，点A的坐标为（-1，0）和（1，0），

（2）∵OB=4，OC=3，故BC=5，
设⊙A经过x秒后与直线BC相切，作AB的垂线，垂足为Q，则AQ=1；
①当⊙A直线BC的左边与直线l相切时，BC=4-x，
∴△BAQ∽△BCO，∴

CB

AC

=

BQ

AO

，即

4-x

5

=

1

3

，
解得x=

7

3

，
②当⊙A在直线的右边与直线l相切时，AB=x-4；
由△BAQ∽△BCO得，

BA

BC

=

AQ

CO

，即

x-4

5

=

1

3

，
解得x=

17

3

，
在运动过程中⊙A与直线l有公共点的时间共

17

3

-

7

3

=

10

3

秒．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系和一次函数的综合题的知识点，解答本题的熟练掌握直线与圆的几种位置关系，此题有一点的难度．