Question

（2012•缙云县模拟）已知在平面直角坐标系中，直线y=-

3

x+6

3

与x轴，y轴相交于A，B两点，直线y=

3

x与AB相交于C点，点D从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动到点A，过点D作x轴的垂线，分别交直线y=

3

x和直线y=-

3

x+6

3

于P，Q两点（P点不与C点重合），以PQ为边向左作正△PQR，设正△PQR与△OBC重叠部分的面积为S（平方单位），点D的运动时间为t（秒）
（1）求点A，B，C的坐标； 
（2）若点M（2，3

3

）正好在△PQR的某边上，求t的值；
（3）求S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围，求出D在整个运动过程中s的最大值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，可求A点的横坐标；令x=0，可求B点的横坐标；直线y=-

3

x+6

3

与直线y=

3

x联立可求C点坐标；
（2）本题只需考虑点M（2，3

3

）正好在△PQR的某边上，求出t的取值即可．
（3）本题要分5种情况进行讨论．当0≤t≤

9

4

时；当

9

4

＜t＜3时；当t=3时；当3＜t≤

9

2

时；当

9

2

≤t≤6时．讨论求出S的最大取值．

解答：解：（1）令y=0，可求A点的横坐标为：6；
故A点坐标为；（6，0），
令x=0，可求B点的纵坐标为：（0，6

3

）；
直线y=-

3

x+6

3

与直线y=

3

x联立可求C点坐标为：（3，3

3

）；

（2）当M在QP上或在RQ上以及RP上时，
分别求出：t1=

7

2

，t2=

11

4

，t₃=2；

（3）

s=- 7 3 3 t2+6 3 t(0≤t≤ 9 4 ) s=3 3 t2-18 3 t+27 3 ( 9 4 ＜t＜3) s=0(t=3) s= 3 t2-6 3 t+9 3 (3＜t≤ 9 2 ) s=- 3 3 t2+6 3 t-18 3 ( 9 2 ＜t≤6)

，
因为S的最大值在

9

2

＜t≤6范围内取到，a=-

3

3

＜0，开口向下，对称轴直线x=9，函数的自变量

9

2

＜t≤6部分图象在对称轴的左侧，S随t的增大而增大
故当t=6时，s最大=6

3

．

点评：考查了一次函数综合题．本题中对于点的运动要分类进行讨论．分类讨论是初中数学重要的思想方法，难点是一要想到用讨论的方法进行求解．而是讨论界限要确定不要漏解和重复．