Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成⊿AEF，试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。

Answer 1

解：（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q， ∵∠C=∠B=60°， ∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB， 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，故BC=2AD， 由已知，点M是BC的中点，BM=CM=AD=AB=CD， 即⊿MDC中，CM=CD，∠C=60°，故⊿MDC是等边三角形； （2）⊿AEF的周长存在最小值，理由如下： 连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB，⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°， ∴∠BME=∠AMF， 在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°， ∴⊿BME≌⊿AMF（ASA）， ∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB， ∵∠EMF=∠DMC=60°，故⊿EMF是等边三角形，EF=MF， ∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是， ⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF， ⊿AEF的周长的最小值为2+。