Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF。

（1）当0< m <8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）当m =3时，是否存在点D，使□CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。

Answer 1

（1）（2）存在（3）m的值为或0或或

解：（1）∵A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8。∴AB=10。
∵∠CEB=∠EBC=90⁰，∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO。
∴，即。∴。
（2）存在。 
∵m =3，∴BC=8－m=5，。
∴根据勾股定理得BC=4。
∴AE=AB－BE=6。
∵点F落在y轴上（如图1），

∴DE∥BO。
∴△EDA∽△BOA。∴，即。
解得：。∴点D的坐标为（，0）。
（3）取CE的中点P，过点P作PG⊥y轴于点G，
则。
①当0< m <8时（如图2），

易证∠GCP=∠BAO，
∴。
∴。
∴。
由题意，根据矩形对角线平分且相等的性质，得OG=CP，
∴，解得。
②当m≥8时，OG＞CP，不存在满足条件的m的值。
③当m =0，即点C与点O重合时（如图3），

满足题意。
④当m＜0时，分两种情况：
ⅰ）当点E与点A重合时（如图4），

易证△COA∽△AOB，
∴，即。
解得。
ⅱ）当点E与点A重合时（如图5），


，
由题意，得OG=CP，
∴。
解得。
综上所述，m的值为或0或或。
（1）由△BCE∽△BAO即可用含m的代数式表示出CE的长。
（2）由△EDA∽△BOA即可求得，从而得到点D的坐标。
（3）分①0< m <8，②m≥8，③m =0，④m＜0四种情况讨论。