Question

如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AE⊥CD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）如果AE=2，EC=4，求⊙O直径AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到CD垂直于OC，再由AE垂直于CD，得到AE与OC平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接BC，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，由一对直角相等，第一问得到的一对角相等，得到三角形AEC与三角形ACB相似，由相似得比例，即可求出AB的长．

解答：解：（1）连接OC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠OCA=∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠CAE=∠OAC，
则AC平分∠EAB；

（2）连接BC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAE=∠OCA，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴

AE

AC

=

AC

AB

，
∵在Rt△AEC中，AE=2，EC=4，
∴根据勾股定理得：AC=

AE2+EC2

=2

5

，
∴AB=

AC2

AE

=

20

2

=10．

点评：此题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．