Question

△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，DE⊥AC于E，G是DE的中点，AG，BE相交于点H，BE，AD相交于点M
（1）如图a，若∠BAC=60°，求证：△ADG∽△BCE；
（2）如图b，连接DH，AM=1，BE=4AG，求DH的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，
∴在Rt△DEC中，=2，
∴=4，
在Rt△ADE中，
∵=2，
∴=4，
∴=，
∵∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE；

（2）解：∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DEC=∠AED=90°，
∴△CDE∽△DAE，
∴=，
∴=，
∴=，∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE，
∴==4，
∴==2，
∴tanC=，
∴∠DAG=∠EBC，∠AMH=∠BMD，
∴∠AHE=∠ADB=90°，
设DG=a，则GE=a，EC=4a，DC=10a，
∴AD=5a，AE=a，
∴∠AGE=45°，
过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，
∴EF=4a，FC=8a，BF=12a，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴=，
∴====tan∠MBD=tan∠DAG=，
在Rt△AHE中，AH==a，
在Rt△AMH中，
∵AM=a=1，
∴a=，AD=3，
∴AH=，AP=，DP=，PH=，
∴DH==．
分析：（1）先根据∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，可得出BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，在Rt△DEC中，由直角三角形的性质可知=2，所以=4，同理可得在Rt△ADE中，=2，=4，
故可得出=，再由∠ADE=∠C即可得出结论；
（2）由∠ADE+∠EDC=90°可知∠ADE=∠C，由相似三角形的判定定理可知△CDE∽△DAE，故可得出=，即=，=，∠ADE=∠C，进而得出△ADG∽△BCE，tanC=，故可得出∠AHE=∠ADB=90°，设DG=a，则GE=a，EC=4a，DC=10a，所以AD=5a，AE=a，∠AGE=45°，过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，根据MD∥EF可知△BMD∽△BEF，所以=，====tan∠MBD=tan∠DAG=，在Rt△AHE中可用a表示出AH的长，在Rt△AMH中，根据AM=a=1求出a的值，故可得出AH，AP，DP，PH的长，根据勾股定理即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解是解答此题的关键．